BANACH'S MATCHBOX PROBLEM · 经典概率问题

两盒火柴
概率实验室

BANACH'S MATCHBOX PROBLEM巴拿赫火柴盒问题 · 经典的等概率随机选择模型

题目

某人有两盒火柴，每盒都有 n 根火柴。每次用火柴时，他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他发现用完一盒时，另一盒还有 r 根（1≤r≤n）的概率。

看见随机过程，数清所有可能。先用可暂停、可单步的实验台理解停止时刻，再用组合计数一步算出答案。

精确公式

P(R=r)=C(2n−r, n)2^2n−r

开始探索 ↓

每盒各有 n 根火柴，
每次随机选择一盒 →

当前例题

01 · 观察过程

什么时候才算“发现”空盒？

关键不是取走最后一根，而是下一次又选中这个空盒。演示会从“最终另一盒恰好剩 r 根”的所有有效路径中随机抽取一条，确保结果与参数一致。

实验参数PARAMETERS

每盒火柴数

2814

目标剩余数

136

演示速度

停止规则

某盒已经为 0 后，下一次再次选中该盒，才算“发现用完”。本轮固定 1≤r≤n，并随机展示满足 R=r 的一种过程。

条件随机过程演示ONE RANDOM PATH WITH R = 2

目标 R = 2待机

随机选择0次

成功取出0根

红 : 蓝6 : 6剩余

已取 0 根 · 盒内 6 根

½等概率选择

已取 0 根 · 盒内 6 根

已取出的火柴每次只新增一根，已经放下的保持原位

0 / 12 根

取出的火柴会按先后顺序放在这里

数量核对6 + 6 + 0 = 12盒内红 + 盒内蓝 + 已取出 = 初始总数 2n

等待开始：两盒各 6 根，共 12 根

序号选择结果剩余（红 : 蓝）

尚无记录——点击“开始自动演示”或“单步选择”

02 · 组合计数

不用方程，三步数清所有情况

先固定“红盒先空”，再利用对称性。每一步只回答一个问题。

2n−r

一共成功取了几次？

红盒取完 n 根，蓝盒取了 n−r 根，所以此前共取：

n+(n−r)=2n−r

红盒出现在哪些次？

从这 2n−r 次中，选出 n 次属于红盒：

C(2n−r, n) 种

×2×½

为什么最后恰好抵消？

红、蓝盒谁先空有 2 种；最后再次选中空盒的概率是 ½。

×2×½=1

因此P(R=r)

=C(2n−r, n)2^2n−r

按照题目给定的范围，1≤r≤n，直接代入即可。

03 · 验证答案

精确计算与随机模拟

左边是公式给出的理论概率，柱状图可叠加大量随机实验的结果。

剩余根数概率分布红柱：理论值　蓝点：模拟值

横轴：发现用完一盒时，另一盒剩余的火柴数 r（按题设展示 1≤r≤n）

最后补充 · 容易混淆

如果题目改成“刚取完一盒”

前面的演示与推导全部针对标准 Banach 问题。这里只在最后比较两个不同事件。

本题 · 发现用完

再次选中已经空的盒子

P_发现(r)=C(2n−r,n)2^2n−r

前面已有 2n−r 次成功抽取，随后还要再次选中空盒。

≠

改题 · 刚取完

最后一根刚刚被抽走

P_刚取完(r)=C(2n−r−1,n−1)2^2n−r−1

最后一次必须来自将要空的盒子；此前它只出现 n−1 次。

两者关系

P_发现(r)=2n−r2n×P_刚取完(r)

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